无源滤波器设计

低通滤波器（LPF）

传递函数，可以用s参数简单地得出
$\begin{aligned} H(\omega) & =\frac{1 / j \omega C_1}{R_1+1 / j \omega C_1} \\ & =\frac{1}{1+j \omega / \omega_{\mathrm{c}}} \\ & \simeq\left\{\begin{array}{cc} 1 & \omega \ll \omega_{\mathrm{c}} \\ \left(j \omega / \omega_{\mathrm{c}}\right)^{-1} & \omega \gg \omega_{\mathrm{c}} \end{array}\right. \end{aligned}$
通过这个传递函数，可以简单地得出幅频相应与相频响应
零输入相应的电压方程：
快速写出方程： $U(t)=U(\infty)\left[1-\exp \left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]$
如何理解在较高的频率下低通滤波器会退化成一个积分器？
从傅里叶变换的积分性质可以得到
1. 对时域微分->对频域乘以 $j\omega$
2. 对时域积分->对频域除以 $j\omega$

\begin{aligned}H(\omega)&\sim(j\omega/\omega_{c})^{-1} \\ &\downarrow \\ e_{o}(t)&\sim \omega_{c}\int_{-\infty}^{t}e_{i}(t)dt\end{aligned}

传递函数：
$\begin{aligned} H(\omega) & =\frac{R}{R_1+1 / j \omega C_1} \\ & =\frac{j \omega / \omega_{\mathrm{c}}}{1+j \omega / \omega_{\mathrm{c}}} \\ & \simeq\left\{\begin{array}{cc}\left(j \omega / \omega_{\mathrm{c}}\right) & \omega \ll \omega_{\mathrm{c}} \\ 1 & \omega \gg \omega_{\mathrm{c}}\end{array}\right.\end{aligned}$
零状态相应方程：与低通滤波器相同
在较高频率下的高通滤波器退化成一个微分器：原因与低通滤波器退化成积分器的相似
$H(\omega) \sim\left(j \omega / \omega_{\mathrm{c}}\right)$
$e_{\mathrm{o}}(t) \sim \omega_{\mathrm{c}}^{-1} \frac{e_{\mathrm{i}}(t)}{d t}$